Question

如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上的两点，且AC等于CD。求证：OC平行BD

Answer 1

（2010•潍坊）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD．
（1）求证：OC∥BD；
（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．
考点：圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定；菱形的判定．
专题：几何综合题．
分析：（1）首先由AC=CD得到弧AC与弧CD相等，然后得到∠ABC=∠CBD，而OC=OB，所以得到∠OCB=∠OBC，接着得到∠OCB=∠CBD，由此即可证明结论；
（2）首先由BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形根据三角形的面积公式可以推出OC=BD，而后利用（1）的结论可以证明四边形OBDC为平行四边形，再利用OC=OB即可证明四边形OBDC为菱形．
解答：（1）证明：∵AC=CD，
∴弧AC与弧CD相等，
∴∠ABC=∠CBD，
又∵OC=OB（⊙O的半径），
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠CBD，
∴OC∥BD；

（2）解：∵OC∥BD，
不妨设平行线OC与BD间的距离为h，
又S△OBC=
1
2
OC×h，S△DBC=
1
2
BD×h，
因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，
即S△OBC=S△DBC，
∴OC=BD，
∴四边形OBDC为平行四边形，
又∵OC=OB，
∴四边形OBDC为菱形．

点评：此题综合运用了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、圆周角定理和等弧对等弦等知识，有一定的难度．

Answer 2

1）证明：∵AC=CD
∴弧AC与弧CD相等，
∴角ABC=角CBD
又∵OC=OB
∴角OBC=角OCB
∴ 角OCB=角CBD
∴ OC//BD
（2）解：∵OC//BD 不妨设平行线OC与BD间的距离为h,
又三角形OBC的面积=1/2*OC*h,三角形DBC的面积=1/2*BD*h,
因为BD将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，
即三角形OBC的面积=三角形DBC的面积
∴ OC=BD
∴四边形OBDC为平行四边形.
又∵OC=OB
∴四边形OBDC为菱形.