Question

关于实变函数和数学分析的一个小小疑问

其实数学分析的作者真是纠结，函数项级数的可积性和逐项求积那里的其中一个条件，每项连续这个条件完全可以弱化成每项可积，但是如果他这样做，就必须要解释可积的定义（可测），就必须要介绍实变函数，左也不是，右也不是，只好加强条件，但是如果严格起来，这书编写是有问题的，作者应该反省！
我想问级数各项有可能是分段函数吗
函数项级数
fn(x)

Answer 1

你的观念是很成问题的. 加强条件没什么不对, 教材本就没必要把条件放到最精致, 何况很多定理也没有合适的充要条件, 在只有充分性的情况下也不可能做到最精致, 强弱程度就得看需求了. 否则照你的标准数学分析书中的很多结论在后续的实分析, 复分析, 拓扑等课程中都有推广, 那么不写成推广的形式就是有问题的? 这样就没法写书了.

不考虑后续课程中的内容, 随便举个实数性质的例子. 比如说实数集不可列, 至少可以加强成任何开区间不可列, 继续加强成任何开区间上的无理数不可列, 任何开区间上的超越无理数不可列...这样的更强的命题可以写很多, 难道书上只证明一个"实数集不可列"的定理就算不够精致, 严格地说就有问题, 该好好反省吗?

另外, 数学分析中可以不讨论Lebesgue测度, 因为一般来讲只讨论Riemann积分. 你所说的这个命题也只需要Riemann可积就可以逐项积分了. 再说Riemann积分也有直接的简单推广: Riemann-Stieltjes积分. 难道凡是没有提到Stieltjes的作者都该反省?