Question

已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作∠DAF=60°，在射线AF上截

取点F，使AF=AD,过D作DE||AF,过F作EF||AD.DE,EF交于点E,连接CF.
(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF,②AC=CF+CD；
(2)如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC,CF,CD之间存在的数量关系，并说明理由；
⑶如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC,CF,CD之间存在的数量关系。

图1

图2

图3





Answer 1

（1）证明：∵菱形AFED，
∴AF=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中
AB=AC
∠BAD=∠CAF
AD=AF
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，
即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF-CD，
理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中
AC=AB
∠BAD=∠CAF
AD=AF
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∴CF-CD=BD-CD=BC=AC，
即AC=CF-CD．

（3）AC=CD-CF．理由是：
∵∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠DAB=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中
AB=AC
∠DAB=∠CAF
AD=AF
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CD-CF=CD-BD=BC=AC，
即AC=CD-CF．
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