Question

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A,B

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A,B，右焦点为F（根号3,0），一条渐近线方程为y=-2分之根号2x，点P喂双曲线上不同A、B的任意一点，过P作x轴的垂线交双曲线与另一点Q。（1）求双曲线C的方程；（2）求直线AP与直线BQ的交点M的轨迹E的方程；（3）过点N（1,0）作直线L与（2）中轨迹E交于不同两点R、S，已知点T（2,0），设向量NR=纳姆达向量NS，当纳姆达大于等于-2小于等于-1是，求向量TR加向量TS的模的取值范围。。。 急用！！！

Answer 1

解：

（1）
∵b/a=|-√2/2|=√2/2
∴a²=2b²
∴c²=a²+b²=3b²=(√3)²=3
∴b²=1
∴a²=2
∴C：x²/2-y²=1

（2）
A(-√2,0)；B(√2,0)；P(xP,yP)；Q(xP,-yP)；xP²＞2
P在C上：xP²/2-yP²=1 ①
AP：y/yP=(x+√2)/(xP+√2) ②
BQ：y/(-yP)=(x-√2)/(xP-√2) ③
②+③得
(x+√2)/(xP+√2)+(x-√2)/(xP-√2)=0
(x+√2)(xP-√2)+(x-√2)(xP+√2)=0
x·xP-√2x+√2xP-2+x·xP+√2x-√2xP-2=0
x·xP=2
x²·xP²=4
xP²=4/x² ④

②乘yP²得
y·yP=yP²·(x+√2)/(xP+√2)=(xP²/2-1)(x+√2)/(xP+√2)=1/2·(xP²-2)(x+√2)/(xP+√2)
=(xP-√2)(x+√2)/2=(x·xP+√2xP-√2x-2)/2=(√2xP-√2x)/2=(xP-x)/√2
y²·yP²=(xP²+x²-2x·xP)/2
yP²=(4/x²+x²-4)/(2y²) ⑤
将④⑤代入①得
2/x²-(4/x²+x²-4)/(2y²)=1
乘2x²y²得
4y²-(4+x^4-4x²)=2x²y²
4y²-2x²y²=x^4-4x²+4
2(2-x²)y²=(x²-2)²
-2y²=x²-2
x²+2y²=2
x²/2+y²=1
即E的轨迹：x²/2+y²=1，其中0＜x²=4/xP²＜2。（注：这其实是一个四个顶点被抠除的椭圆。）

（3）
N(1,0)；T(2,0)
令L：y=k(x-1)
上式代入E的轨迹方程得

x²/2+k²(x-1)²=1
整理得
(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0
令R(x1,y1)，S(x2,y2)，则
x1+x2=4k²/(1+2k²)
x1·x2=(2k²-2)/(1+2k²)

向量NR=λ·向量NS
即(x1-1,y1)=λ·(x2-1,y2)

∴x1-1=λ·(x2-1)
∴(x1-1)/(x2-1)=λ
(x2-1)/(x1-1)=1/λ
∴(x1-1)/(x2-1)+(x2-1)/(x1-1)=λ+1/λ
=[(x1-1)²+(x2-1)²]/[(x1-1)(x2-1)]
=[(x1-1+x2-1)²-2(x1-1)(x2-1)]/[(x1-1)(x2-1)]
=(x1+x2-2)²/[(x1-1)(x2-1)] -2
=(x1+x2-2)²/[x1·x2-(x1+x2)+1] -2
=[4k²/(1+2k²)-2]²/[(2k²-2)/(1+2k²)-4k²/(1+2k²)+1] -2
=[-2/(1+2k²)]²/[(-2k²-2)/(1+2k²)+1] -2
=4/[(-2k²-2)(1+2k²)+(1+2k²)²] -2
=4/[(1+2k²)(-2k²-2+1+2k²)] -2
=-4/(1+2k²)-2 ⑥
令U=λ+1/λ，则
U'=1-1/λ²
又∵-2≤λ≤-1
∴1≤λ²≤4
∴1/λ²≤1
∴U'≥0
∴U=λ+1/λ在-2≤λ≤-1时单调递增
∴-5/2≤U≤-2
将⑥代入得
-5/2≤-4/(1+2k²)-2≤-2
∴2≤4/(1+2k²)+2≤5/2
∴0≤4/(1+2k²)≤1/2
∴1+2k²≥8
∴k²≥7/2

令向量t=向量TR+向量TS=(x1-2,y1)+(x2-2,y2)
=(x1+x2-4,y1+y2)
=(x1+x2-4,k(x1-1)+k(x2-1))
=(x1+x2-4,k(x1+x2)-2k)
于是|t|²=(x1+x2-4)²+[k(x1+x2)-2k]²
=[4k²/(1+2k²)-4]²+{k[4k²/(1+2k²)]-2k}²
=[(-4k²-4)/(1+2k²)]²+k²[4k²/(1+2k²)-2]²
=[(4k²+4)/(1+2k²)]²+k²[-2/(1+2k²)]²
=[(4k²+4)²+4k²]/(1+2k²)²
=(16k^4+36k²+16)/(1+2k²)²
令M=|t|²，K=k²，则
M=(16K²+36K+16)/(1+2K)²
M'=[(32K+36)(1+2K)²-4(1+2K)(16K²+36K+16)]/(1+2K)^4
=(1+2K)(64K²+32K+72K+36-64K²-144K-64)/(1+2K)^4
=(1+2K)(-40K-28)/(1+2K)^4
=-4(2K+1)(10K+7)/(1+2K)^4
又∵K=k²≥7/2
∴M'＜0
∴M在K≥7/2时单调递减
∴4≤M≤[16·(7/2)²+36·(7/2)+16]/[1+2·(7/2)]²=169/32
（注：K不存在，即为+∞时，易求得M=|t|²=4.）
∴4≤|t|²≤169/32
∴2≤|t|≤13√2/8
经检验，k²≥7/2＞1，故L不会经过E轨迹中被抠除的点。

综合上述，2≤|t|≤13√2/8.

Answer 2

我是你老师 我布置的作业网上查不到的 你死了这条心吧