Question

一道高中数学题，求详解

已知不等式(2a-b-c)(a-c)·2^n≥(a-b)(b-c)(t·2^n+1)对任意a＞b＞c及n∈N恒成立，则实数t的取值范围为（） A.(-∞,2+2√2] B.(-∞,4√2-1] C.[4√2-1,+∞) D.[2+2√2,+∞)

Answer 1

(2a-b-c)(a-c)·2^n≥(a-b)(b-c)(t·2^n+1)式子是不是抄错了，
应该是(2a-b-c)(a-c)·2^n≥(a-b)(b-c)(t·2^n+2) ，不然没答案

由(2a-b-c)(a-c)·2^n≥(a-b)(b-c)(t·2^n+2) 得(2a-b-c)(a-c)/(a-b)(b-c)≥(t·2^n+2) /2^n
∵不等式(2a-b-c)(a-c)·2^n≥(a-b)(b-c)(t·2^n+1)对任意a＞b＞c及n∈N恒成立
∴(2a-b-c)(a-c)/(a-b)(b-c)的最小值应该大于等于(t·2^n+2) /2^n最大值
下面求(2a-b-c)(a-c)/(a-b)(b-c)的最小值与(t·2^n+2) /2^n最大值：

(2a-b-c)(a-c)/(a-b)(b-c)=[(a-b)+(a-c)](a-c)/(a-b)(b-c)

=(a-c)/(a-b) + (a-c)^2/(a-b)(b-c)
=[(a-b)+(b-c)]/(a-b) + [(a-b)+(b-c)]^2/(a-b)(b-c)
=1 + (b-c)/(a-b) + (a-b)/(b-c) + 2 + (b-c)/(a-b)
=3+2(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)
运用基本不等式得3+2(b-c)/(a-b)+(a-b)/(b-c)≥3+2√2
∴(2a-b-c)(a-c)/(a-b)(b-c)的最小值为3+2√2

(t·2^n+2) /2^n=t+ 2/2^n，∴(t·2^n+2) /2^n最大值为t+1
所以有3+2√2≥t+1，解得t≤2+2√2

如果满意，请采纳啊亲！

Answer 2

楼上的方法是对的，我有一条改进，题目没有出错，可以将n取到0，此时就满足最后一步的右式等于t 1