Question

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为(4,0)(0,3),现有两动点P,Q分别从A,C同时出发

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C,D两点的坐标分别为（4,0）（0,3），现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，速度为每秒一个单位，点Q沿折线CBA向终点A运动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t秒。
（1）若四边形PQCD为平行四边形，求t的值
（2）若以PQCD为顶点的四边形为等腰梯形，求t的值
（3）是否存在某一时刻，使得P,Q两点同时在反比例函数y=m/x的两个分支上，若存在，求出此时t与m的值。

Answer 1

分析：（1）如图1，过B点作BH⊥CD，垂足为H，由菱形的性质可知OB=OD=3，OA=OC=4，在Rt△COD中，由勾股定理求CD，根据S菱形ABCD=4S△COD求菱形面积，再根据S菱形ABCD=CD×BH求h；
（2）根据P、Q两点运动速度表示AP，DQ，由S梯形APQD=
1
3
S菱形ABCD，或S梯形APQD=
2
3
S菱形ABCD，两种情况分别求x的值；
（3）根据P、Q两点运动速度表示AP，CQ，根据梯形面积公式表示y，再根据函数的性质求y的最大值及此时x的值．
解答：解：（1）如图1，过B点作BH⊥CD，垂足为H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，
在Rt△COD中，CD=
OC2 OD2
=5，
∴S菱形ABCD=4S△COD=4×
1
2
×4×3=24，
又∵S菱形ABCD=CD×BH，即5h=24，解得h=
24
5
；

（2）依题意，得AP=x，DQ=5-2x，则S梯形APQD=
1
2
（x 5-2x）×
24
5
=
12
5
（5-x），
当S梯形APQD=
1
3
S菱形ABCD时，
12
5
（5-x）=8，解得x=
5
3
，
当S梯形APQD=
2
3
S菱形ABCD时，
12
5
（5-x）=16，解得x=-
5
3
（舍去）；

（3）存在．
当点Q在CD上时，如图2，依题意，得AP=x，CQ=2x，
∴y=
1
2
（x 2x）×
24
5
=
36
5
x（0≤x≤
5
2
），
当x=
5
2
时，y有最大值，最大值为
36
5
×
5
2
=18，⊙
此时P点在线段AB的中点，Q点与D点重合；
当点Q在AD上时，如图3，
y=
1
2
（x 10-2x）×
24
5
=24-
12
5
x（
5
2
＜x＜5），
y无最大值．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据题意求菱形的边长，高，面积，根据梯形的面积公式列方程求解．

追问

看不懂

Answer 2

A,C两点在哪里