Question

高考理数压轴题求数学高手解答

某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责。已知该系共有n位学生，每次活动均需k位学生参加（n和k都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X。

（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

（2）求使P(X=m)取得最大值的整数m。

Answer 1

（1）学生甲收到李老师或张老师信息的概率 = 1 - 学生甲未收到任何老师信息的概率 = 1 - 学生甲未收到李老师的信息且未收到张老师的信息的概率 = （这一步等号成立是因为两位老师独立发信息）1 - 学生甲未收到李老师的信息的概率 * 学生甲未收到张老师的信息的概率 = 1 - [C(n-1,k)/C(n,k)]^2 = 1 - [(n-k)/n]^2

(2) 首先注意到定义域：k<=m<=min(n,2k)
两位老师各选k人，共有C(n,k)*C(n,k)种选法。一共选m人，就意味着李老师选了k人之后，张老师选的k人里，有（m-k）个人不在李老师的k人中，有 [k-(m-k)]=2k-m 个人在李老师的k人中。因此，P(X=m) = C(n,k)*C(k,2k-m)*C(n-k,m-k) / [C(n,k)*C(n,k)] = k!(n-k)!/[(2k-m)!(m-k)!(m-k)!(n-m)!]。
为了找到最大值，观察P(X=m)关于m的增减情况。P(X=m)/P(X=m+1) = (m+1)^2/[(2k-m)(n-m)]。算得该式大于1的等价条件为m>(2kn-1)/(2k+n+2)，即是说P(X=m)在(2kn-1)/(2k+n+2)之后单调减，在(2kn-1)/(2k+n+2)之前单调增。
接下来就是关于(2kn-1)/(2k+n+2)是否为整数等的分类讨论，以及m的定义域对最值的影响，略去不写。