Question

将抛物线y=-x²平移,平移后的抛物线与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D

求：（1）求平移后抛物线的表达式和点D坐标 （2）∠ACB与∠ABD是否相等？请证明你的结论 （3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且三角形CDP与三角形ABC相似，求点P坐标

Answer 1

答：
（1）平移抛物线，其开口方向和开口大小不变，即a=-1不变，设平移后的抛物线方程为y=-x²+bx+c
把点A（-1.0）和点B（3，0）代入得：
-1-b+c=0
-9+3b+c=0
解得：b=2，c=3
所以：平移后的抛物线的表达式为y=-x²+2x+3，顶点D为（1,4）。

（2）点C为（0,3）。AD=BD=2√5，sin∠ABD=4/BD=2/√5，∠ABD为锐角。
BC直线斜率为-1，倾斜角135°，∠ABC=∠OCB=45°
AC=√10，sin∠ACB=sin(∠ACO+45°)=(√2/2)(sin∠ACO+cos∠ACO)=(√2/2)(1/√10+3/√10)=2/√5
因为：cos∠ACO=3/√10，所以：∠ACO<45°，所以：∠ACB=∠ACO+45°<90°为锐角
因为：sin∠ABD=sin∠ACB
所以：∠ACB=∠ABD

（3）过点C作CM⊥PD，点M（1,3）CD直线的斜率为1，CD倾斜角45°，
所以：∠CDP=∠ABC=45°。设点P为（1，p）。
3.1）当∠ACB=∠PCD时，即∠ACO=∠PCM
tan∠ACO=tan∠PCM：1/3=PM/PC=(3-p)/(1-0)，解得：p=8/3。
3.2）当∠ACB=∠CPD时：
CD/AB=DP/BC：√2/4=(4-p)/3√2，解得：p=5/2。
所以：点P为（1,5/2）或者（1,8/3）。