Question

数学导数题目 急

已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
（1）求实数m的值；
（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′(x0)=f(b)-f(a)/b-a
．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g(x)=f(x1)-f(x2) (x-x1)+f(x1)/x1-x2 /，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
（3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．

2，3两步怎么做

Answer 1

（1）解：求导函数f′(x)=1/(x+1) +m．

∵当x=0时，函数f（x）取得极大值
∴f'（0）=0，得m=-1，此时f′(x)=-x/(x+1) ．

当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
∴函数f（x）在x=0处取得极大值，故m=-1

第3问的答案字有点小，放大后可看清楚