Question

如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离最小值

图见 http://www.zxxk.com/Feature/2013gk/showinfo.aspx?Page=3&InfoID=247997 14题

Answer 1

如图，取坐标系：D﹙000﹚ A﹙200﹚ C﹙020﹚,D1﹙002﹚ E﹙120﹚

则 可设 P﹙s,2s,2﹙1-s﹚﹚∈D1E   Q﹙0,2,t﹚∈CC1

L＝PQ²＝s²+﹙2s-2﹚²+[2﹙1-s﹚-t]²＝9s²-16s+8+4st+t²-4t

L′s＝18s-16+4t＝0

L′t＝2t-4-4s＝0

解得 s＝4/5   t＝2/5   L＝[9×16-16×4×5+25×8+4×2×4+4-40]/25＝20/25＝4/5

PQ最小值＝2/√5＝2√5/5.     点P到直线CC1的距离最小值为2√5/5

Answer 2

过E点作CC1的平行线交B1C1于点H，连接D1H，则D1E上的点到CC1的距离映射为D1H上的点到CC1的距离，理由是平行线间的距离处处相等，所以这个问题就变成了三角形D1C1H中的顶点C1到线段D1H的最短距离，根据点到直线的连线中垂线段最短，即过点C1作D1H边上的垂线段最短，容易求得D1H为√5，根据三角形面积相等的原理求得此垂线段等于2√5/5,我是这么认为的。