Question

想问一下离散数学的自反和反自反、对称和反对称的判断问题

（1） 若任意x(x∈A→<x,x>∈R)，则称R在A上是自反的。
（2） 若任意x(x∈A→<x,x>R)，则称R在A上是反自反的。

（1） 若任意x任意y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R)，则称R为A上对称的关系。（2） 若任意x任意y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)，则称R为A上的反对称关系。

上面是定义。
设A={1,2,3} ，R1={<1,1>,<2,2>} 我知道他不是自反也不是反自反，
那就说明如果是自反必须包含IA（<1,1>,<2,2>,<3,3>），
是不是定义1说明的任意X要包含A中所有的数？

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R1＝{<1,1>,<2,2>}R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>}
R3＝{<1,2>,<1,3>}R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}
R1既是对称也是反对称的。R2是对称的但不是反对称的。
R3是反对称的但不是对称的。R4既不是对称的也不是反对称的。

上面是书上写的，然后
2.为什么R1、R2不用包含元素3？不是说任何X，y属于A吗，如果我理解错误，那问题1为什么又要包含所有的A的元素？

Answer 1

书上的这些关系性质的定义中，一阶逻辑公式的变项x,y的取值是全总个体域，所以辖域内有x∈A，y∈A的限制。实际上我们只是在集合A中考虑的，所以这些定义完全可以去掉那些x∈A，y∈A的限制。
在集合A作为个体域时，定义是
（1） 若任意x(<x,x>∈R)，则称R在A上是自反的。
（2） 若任意x(<x,x>不属于R)，则称R在A上是反自反的。
（3） 若任意x任意y(<x,y>∈R→<y,x>∈R)，则称R为A上对称的关系。
（4） 若任意x任意y(<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)，则称R为A上的反对称关系。
这样，看起来就简洁了。
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1、判断自反、反自反时，就是看所有的<x,x>。如果所有的<x,x>都在R中，R自反。如果所有的<x,x>都不在R中，R反自反。如果只有一部分<x,x>在R中，则R既不自反也不反自反。

2、集合A上的关系R是笛卡尔积A×A的子集，只要A中的<x,y>保证x,y∈A即可，x,y不用取遍A中所有元素。
对称、反对称定义中的辖域是一个蕴涵式，比如对称的定义中，蕴涵式的前件是x,y∈A∧<x,y>∈R，后件是<y,x>∈R。前件有两部分，x,y∈A，<x,y>∈A，其中x,y∈A是肯定的，否则有什么讨论的意义呢。前件假，整个蕴涵式真。所以我们只考虑前件真时后件是真是假就行了。前件真的时候就是<x,y>∈A，我们我们考虑的是从R中任取一个<x,y>，如果<y,x>也都在R中，则R对称。
对于反对称也是一样的，从R中找出<x,y>与<y,x>，看x与y是否相等。