Question

设函数f(x)=(1-mx)ln(1+x),（1）若当0<x<1时,函数f(x)的图像恒在直线y=x上方，求实数m的取值范围

设函数f(x)=(1-mx)ln(1+x),（1）若当0<x<1时,函数f(x)的图像恒在直线y=x上方，求实数m的取值范围（2）略。来源：河南省郑州市2017届高中毕业年级第一次质量预测(理数)
我看了答案，没看懂。主要是想问一下，m是怎样讨论的，比如m≤-1/2,-1/2<m<0，m>0是怎么来的，望多多指教。

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝
1
x+1
?m
∵x＞0时，0＜
1
x+1
＜1
∴m≤0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增
∴m≥1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减
∴m的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）单调函数；
（Ⅱ）①当m≤0时，f'（x）＞0，f（x）为定义域上的增函数，
∴f（x）没有极值；
②当m＞0时，由f'（x）＞0得?1＜x＜
1
m
?1；
由f'（x）＜0得x＞
1
m
?1∴f(x)在(?1，
1
m
?1)上单调递增，(
1
m
?1，+∞)上单调递减．
故当x＝
1
m
?1时，f（x）有极大值f(
1
m
?1)＝m?1?lnm，但无极小值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令x＝
1
k+1
，得ln(1+
1
k+1
)＜
1
k+1

所以
1
n+1
+
1
n+2
++
1
n+(n+1)
＞ln
n+2
n+1
+ln
n+3
n+2
++ln
2n+2
2n+1
=ln
2n+2
n+1
＝ln2．
所以an＞ln2．

追问

你这个解答，怎么看不懂啊。