Question

若正实数a,b,c满足a(a+b+c)=bc,则a/(b+c)的最大值为?

有数学大神吗，咋一点动静都没有嘞???

Answer 1

实数abc
a+b+c=a^2+b^2+c^2移项，得：

a^2+b^2+c^2-a-b-c=0两遍加3/4，得：

a^2-a+1/4+b^2-b+1/4+c^2-c+1/4=3/4构成平方，得：

（a-1/2）^2+（b-1/2）^2+（c-1/2）^2=3/4 [1]式子

需要用到√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3变形：（此后证明在结尾）

(a^2+b^2+c^2)/3>=[(a+b+c)/3]^2再变形：

(a^2+b^2+c^2)>=3*[(a+b+c)/3]^2把[1]式子套用公式得：

3/4=（a-1/2）^2+（b-1/2）^2+（c-1/2）^2>=3*[（a-1/2+b-1/2+c-1/2）/3]^2变形：

3/4>=[(a+b+c-3/2)^2]/3再变形：

(a+b+c-3/2)^2<=9/4

所以a+b+c<=3/2+3/2=3即为所求。

若有错误，请多多指教~

对了,还有证明：√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3
证明：因为(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0

展开2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0

2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ac

同时加a^2+b^2+c^2

a^2+b^2+c^2+2a^2+2b^2+2c^2>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2

(a^2+b^2+c^2)/3>=(a+b+c)^2/9

若a+b+c<0, 则√[(a^2+b^2+c^2)/3]>(a+b+c)/3肯定成立

若a+b+c>=0则开方
√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3 综上

√[(a^2+b^2+c^2)/3]>=(a+b+c)/3

当a=b=c且大于0时取到

Answer 2

首先观察条件，b＋c可以看作整体，那么想到把bc放缩为b＋c
首先以便式子简洁，双换元
令m＝a，n＝b＋c
a（a＋b＋c）＝bc≤n²
展开就是m²＋mn≤n²
n²除下
得（m/n）²＋m/n－1/4≤0
由abc正数解得m/n≤（根号2－1）/2
m/n即为所求。

追答

不好意思中间两个式子不是n²
是n²/4
基本不等式