Question

矩阵特值所对应的特征向量的线性组合是不是矩阵的不变子空间？如何证明这一点？

Answer 1

你概念很不清楚。建议你在多看下书。

你犯了如下几个错误：

1、矩阵特值所对应的特征向量的线性组合
矩阵的某个特征值对应的特征向量的全体以及零向量构成一个空间。
你应该是理解成了其一个线性无关组而已（即空间的基）

2、矩阵的不变子空间
矩阵没有不变子空间，线性变换才有，这里应该说成矩阵对应的线性变换的不变子空间。

然后说下你问的问题：
很显然，矩阵的某个特征值对应的全体特征向量是矩阵对应的线性变换的一个不变子空间。

至于证明，我想你时本末倒置了，一般书上都是先介绍线性变换的一个不变子空间再介绍矩阵的特征值特征向量。实际上你吧矩阵看成线性变换的矩阵，结论是显然的。

追问

我是想说，如果矩阵有两个特征值x1,x2,对应的特征向量为v1,v2，那么av1+bv2是不是也是一个不变子空间？按定义好像这是对的，不太确定。

追答

....显然不是。

追问

那书上的定理“设W1 W2都是不变子空间，则W1+W2及W1∩W2也是不变子空间是什么意思？

追答

不好意思。我看错一点，以为你问的是av1+bv2是不是一维不变子空间。

av1+bv2是不变子空间，但不是一维不变子空间。

一个特征值对应的一个特征向量v1张成的是一维不变子空间。

实际上不同的特征值对应的特征向量张成的空间交为{0}，如果你看了空间的分解，就知道，通过特征值特征向量是可以分解空间的。

追问

喵，那我还是对的。

追答

这里有必要声明一点，不变子空间维度越低越好，所以研究特征值特征向量才有必要，往大了研究没有很大意义，实际上整个空间也是不变子空间。