Question

把数A分成几个连续数之和，共有8种分法，求A最小值？

Answer 1

设整数A分成2个连续自然数之和，则A=2n-1;①
设整数A分成3个连续自然数之和，则A=3m；②
设整数A分成4个连续自然数p-1,p,p+1,p+2之和,则A=4p+2；③
③与①矛盾。
设整数A分成5个连续自然数之和，则A=5p.④
设整数A分成6个连续自然数p-2,p-1,p,p+1,p+2,p+3之和,则A=6p+3;⑤<==①②。
设整数A分成7个连续自然数和,则7|A；
设整数A分成8个连续自然数p-3,p-2,p-1,p,p+1,p+2,p+3,p+4之和,则A=8p+4与①矛盾；
设整数A分成9个连续自然数之和,则9|A；==>②
设整数A分成10个连续自然数p-4,p-3,p-2,p-1,p,p+1,p+2,p+3,p+4,p+5之和,则A=10p+5;<==①④。
设整数A分成11个连续自然数之和,则11|A.
要A最小，A需能分成2,3,5,6,7,9,10,11个连续自然数之和，
<==>5,7,9,11整除奇数A，
∴A的最小值=3465.

Answer 2

先说答案：225 是最小的
数学原理：A=n+(n+1)+...+m=(n+m)(m-n+1)/2

(n+m)+(m-n+1)=2m+1为奇数
记做2A=XY，X是奇数，Y是偶数
显然，当A选定后，X的每一次选择都会对应一种连续自然数之和的方式，除了X=1
则，X的选择方式的总数就决定了分法总数
225=3*3*5*5
X可以选
3,
3*3,
5,
5*5,
3*5,
3*3*5，
3*5*5,
3*3*5*5共8种方法，通过仔细列方程也可以正向验证225的8种分法
下面是python代码，num_serial给出一个数的准确分法数量
def nseq(n):
res=n*(n-1)//2
return res%n
def is_n_seq(num,n):
if num<=(n*(n-1))/2:
return 0
if (num%n) == nseq(n):
return 1
else:
return 0
def num_serial(num):
sn=ceil(sqrt(2*num))
m=0
for i in range(2,sn+1):
m=m+is_n_seq(num,i)
# print 'i={0} m={1}'.format(i,m)
#print 'num {0}- {1}'.format(num,m
return m
for i in range(3,1000):
if num_serial(i)==8:
print(i)