Question

｛an｝｛bn｝都是各项为正数的数列，对于任意n属于N+

｛an｝｛bn｝都是各项为正数的数列，对于任意n属于N+，都有an，bn^2，an+1 成等差数列，bn^2，an+1，bn+1^2成等比数列。（1）试问｛bn｝是否为等差数列，为什么？（2）若a1=1，b1=根号2，求Sn=1/a1+1/a2+........+1/an。

Answer 1

（1）解：根据等比与等差数列性质 有：2bn^2=an+a(n+1) ①a(n+1)^2=bn^2b(n+1)^2 两边开方得a(n+1)=bnb(n+1) ②②带入①2bn^2=b(n-1)bn+bnb(n+1)=bn[b(n-1)+b(n+1)] (n≥2)∴2bn=b(n-1)+b(n+1) (n≥2) ∴｛bn｝是等差数列 （2）根据①和②算出a2=3 b2=3根号2/2所以公差=b2-b1=根号2/2 写出bn通项公式Sn就是很简单的裂项相消 答案应该是Sn=2n/(n+1)

Answer 2

2b n 2 =a n +a n+1 ①a n+1 2 =b n 2 b n+1 2 ②

（1）结合已知条件a n ＞0，b n ＞0及②得

a n+1 =b n b n+1 从而当n≥2时，a n =b n-1 b n 结

合①，2b n 2 =b n-1 b n +b n b n+1 即2b n =b n-1 +b n+1 （n≥2）从而可得数列

{b n }是等差数列