Question

【紧急求助】已知函数f（x）=lnx+a/（x+1）， （a属于R） 求详细

①当a=9/2时，如果函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，求实数k的取值范围
②当a=2时，试比较f（x）与1的大小
③求证：ln（n+1）大于1/3+1/5+1/7+……1/（2n+1）n属于正整数

Answer 1

解：①当a=9/2时，g(x)=lnx+9/(2(x+1))-k,
g'(x)=1/x-9/(2(x+1)^2)=[(x-5/4)^2-9/16]/[x(x+1)^2],有g(x)定义域知x>0;
所以，当0<x<1/2或x>2时g'(x)>0,1/2<x<2时g'(x)<0;
g(x)在x=1/2处取得极大值3-ln2-k,在x=2处取得极小值3/2+ln2-k;
当3-ln2-k<0或3/2+ln2-k>0时g(x)仅有一个零点，即3-ln2<k<3/2+ln2
②当a=2时，f'(x)=(x^2+1)/[x(x+1)^2]>0，f(x)在（0,+无穷）上单调递增
又当x=1时f(x)=1,所以当0<x<1时f(x)<1,当x>1时f(x)>1
③由②知当x>1时lnx+2/(x+1)>1,即lnx>(x-1)/(x+1)
所以当x>0时有ln(x+1)>x/(x+2) ..................................................................式（1）
以下用数学归纳法来证明结论：
1.当n=1时，ln(2)>1/3成立
2.假设n=k时不等式成立即ln(k+1)>1/3+1/5+......1/(2k+1)
当n=k+1时，根据式（1）有：
ln(k+2)-ln(k+1)=ln[(k+2)/(k+1)]=ln(1/(k+1)+1)>(1/(k+1))/(1/(k+1)+2)=1/(2(k+1)+1)
所以ln(k+2)>ln(k+1)+1/(2(k+1)+1)=1/3+1/5+......1/(2k+1)+1/(2(k+1)+1)
即n=k+1时不等式也成立
由1、2知ln(n+1)>1/3+1/5+......1/(2n+1) n属于正整数