Question

交错级数级数lnn /n 的敛散性？谢谢。

Answer 1

根据莱布尼兹判别法，要证两点：
1、通项n充分大以后，un单调递减
2、n趋于无穷时，un极限为0
下面先证1.
un>u(n+1)............................................................(1)
<=> lnn/n>ln(n+1)/(n+1)
<=>(n+1)lnn>nln(n+1)
<=>ln[n^(n+1)]>ln[(n+1)^n]
<=>n^(n+1)>(n+1)^n
<=>n>[(n+1)^n]/[n^n]=(1+1/n)^n...........................(2)
由于(1+1/n)^n<e 因此 当n>e 时，既有 (2)成立，因而（1）成立。
对于2，你自己会证，这里就不证了。

追问

你好，在(1+1/n)^n<e（不是=e吗？参考两个重要极限知识）这里我有点不明白，能麻烦指导一下吗？万分感谢！

追答

极限是e，通项都小于e，自己去翻书上的证明。

Answer 2

lim(n->oo) (-1)^n lnn/n = 0
级数收敛

追问

你好，书上不是说要满足两个条件：
1、Un>=Un+1
2、lim(n->oo)=0
交错级数才收敛嘛，条件2我能知道，但是1感觉证出来很吃力，麻烦指导一下，谢谢！

追答

证明 Un+1 / Un 3时
- lnx +1 <0