Question

求微分方程的解

1、dy/dx=x/y 2、y'+y=e^-x 3、y"_5y'+6y=0 4、y'+y=x，y|下标x=0=2(x=0是下标） 四道题，求大神十五分钟出答案！！！急

Answer 1

Answer 2

求微分方程的解
1、dy/dx=x/y
解：分离变量得ydy=xdx；积分之得y²/2=x²/2+C/2；故得通解为y²-x²=C.
2、y'+y=e^(-x)
解：先求齐次方程y'+y=0的通解：dy/dx=-y；
分离变量得dy/y=-dx；积分之得lny=-x+lnC₁；
故得y=e^(-x+lnC₁)=C₁e(-x)；
把C₁换成x的函数u,得y=ue^(-x)..............(1)
两边对x取导数得
y'=-ue^(-x)+(du/dx)e^(-x).........................(2)
将(1)和(2)代入原式得：
-ue^(-x)+(du/dx)e^(-x)+ue^(-x)=e^(-x)
化简得du/dx=1，即du=dx，故得u=x+C；代入(1)式即得通解为：y=(x+C)e^(-x).
3、y"-5y'+6y=0
解：特征方程为r²-5r+6=(r-2)(r-3)=0，故得r₁=2，r₂=3；
于是得通解为y=C₁e(2x)+C₂e^(3x)；
4、y'+y=x，已知x=0时y=2；
解：y'+y=0的通解为y=C₁e^(-x)；将C₁换成x的函数u，得y=ue^(-x).........(1)
将(1)对x取导数得y'=-ue^(-x)+(du/dx)e^(-x).........(2)
将(1)和(2)代入原式得：-ue^(-x)+(du/dx)e^(-x)+ue^(-x)=x
化简得(du/dx)e^(-x)=x；分离变量得du=x(e^x)dx；
积分之得u=∫x(e^x)dx=∫xd(e^x)=xe^x-∫(e^x)dx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C
代入(1)时即得通解为y=[(x-1)e^x+C]e^(-x)=x-1+Ce^(-x)...........(3)
代入初始条件得2=-1+C，故C=3；
代入(3)式即得原方程得特解为y=x-1+3e^(-x).

Answer 3

1. ydy=xdx        (1/2)y^2=(1/2)x^2+c

2. 特征方程    r+1=0    特解 y*=xe^(-x)      通解y=ce^(-x)+xe^(-x)

3. 特征方程   r^2-5r+6=0   (r-2)(r-3)=0     通解  y=c1e^2x+c2e^3x

4. 特征方程    r+1=0     特解 y*=x-1      通解y=ce^(-x)+x-1

   代入初始条件 y(0)=2     c=3      满足初值问题的解为   y=3e^(-x)+x-1

Answer 4