Question

如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A=30°． 求证：（1）BD=CD； （2）△AO

如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A=30°．求证：（1）BD=CD；（2）△AOC≌△CDB．

Answer 1

（1）∵直径所对的圆周角是直角
∴∠ACD＝90°
∵AO=CO（半径相等）
∴∠A=∠ACD＝30°
∴∠OCD=90°-∠ACD=90-30°=60°
∵CO=OD （半径相等）
∴△OCD是等边三角形
∴∠COB=60°
∵CB是圆O的切线
∴∠OCD=90°
∴∠B=30°
∵∠CDO=60°且是△CDB的外角
∴∠B+∠DCB=60°
∴∠BAD=∠B=30°
∴CD=DB
（2）∵∠ACD=∠BCO=90°
∴∠ACD-∠OCD=∠OCB-∠OCD
∴∠ACO=∠DCB
又∵∠A=∠B，CD=OC
∴△AOC≌△CDB

Answer 2

∵AD是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ADC=90°-∠A=60°
∵BC与⊙O切于C点
∴∠DCB=∠A=30°
∴∠DBC=∠ADC-∠DCB=60°-30°=30°
∴∠DCB=∠DBC
∴BD=CD

∵∠DBC=∠A=30°
即∠A=∠ABC=30°
∴AC=BC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠A=30°
∴∠OCA=∠DCB=30°
在△AOC和△CDB中
AC=BC
∠OCA=∠DCB
∠A=∠DBC
∴△AOC≌△CDB(ASA)

Answer 3

∵AD为⊙O的直径
∴∠ACD=90°
∵∠A=30°
∴∠ADC=60°
∵OC=OD
∴⊿OCD是等边三角形
∴∠OCD=60°
∵BC与⊙O切于C点
∴∠BCO=90°
∴∠BCD=30°
∴∠B=∠ADC-∠BCD=30°
∴∠BCD=∠B
即CD=BD
2. ∵∠A=30°=∠B
∴AC=BC
∵AO=OC
∴∠A=∠ACO=30°
∴∠A=∠ACO=∠B=∠BCD
∴△AOC≌△CDB﹙SAS﹚