Question

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD1是它的对角线,AC,A1C1,AB1,B1C是各自所在面的对角线

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD1是它的对角线,AC,A1C1,AB1,B1C是各自所在面的对角线
（1）求BD1与底面ABCD所成角的正切值
(2)求证A1C1∥面ACB1
（3）求证BD1⊥AC

Answer 1

（1）设正方体边长=a

BD=√2a

∵DD1⊥面ABCD

∴BD1与底面ABCD所成角=∠D1BD

tan∠D1BD=a/√2a=√2/2

(2)

∵A1C1∥AC

AC在面ACB1内

∴A1C1∥面ACB1

（3）

∵D1C⊥面B1C1CB

∴B1C⊥D1C

∵BC1⊥B1C

∴BC1⊥面D1C1B

∴BD1⊥BC1

同理AB1⊥面D1A1B

∴AB1⊥BD1

∴BD1⊥面AB1C

∴BD1⊥AC

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Answer 2

（1）BD1与底面ABCD所成角的正切值＝根号2/2
(2)因为A1C1∥AC，AC在面ACB1内，所以A1C1∥面ACB1
（3）因为在正方形ABCD中AC⊥BD，又在正方体ABCD-A1B1C1D1中DD1⊥正方形ABCD，所以DD1⊥AC，所以AC⊥三角形BDD1,所以BD1⊥AC