Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知点M、N分别是A1A、A1B1的中点，AC∩BD=P．（Ⅰ）求证：MN∥平面PB1C

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知点M、N分别是A1A、A1B1的中点，AC∩BD=P．（Ⅰ）求证：MN∥平面PB1C；（Ⅱ）求异面直线MN与PB1的夹角．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图所示，连接AB₁，AB₁?平面PB₁C．
∵点M、N分别是A₁A、A₁B₁的中点，
∴MN∥AB₁．
又MN?平面PB₁C，AB₁?平面PB₁C．
∴MN∥平面PB₁C；
（Ⅱ）解：∵MN∥AB₁，∴∠AB₁P是异面直线MN与PB₁的夹角或其补角．
∵AB₁=B₁C=AC，
∴△AB₁C是等边三角形，
∴∠AB₁P=30°是异面直线MN与PB₁的夹角．