Question

一道关于双曲线方程的题目。求解

过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>b>0)的左焦点F（-c，0）（c>0），作圆x2+y2=a2/4的切线，切点为E，直线FE交双曲线右支于p点，若向量OE=1/2（向量OF+向量OP），则双曲线的离心率为

Answer 1

连p点和右焦点pF2,由OE=1/2（向量OF+向量OP），知E是FP中点.且OE垂直于PF，用几何图形
OE是中位线，于是pF2=a,用双曲线的定义知PF=3a,EF=3a/2，在直角三角形FEO中,(3a/2)*2+(a/2)^2=C^2.解得离心率为根号下10/2。请画出图形对照着做。

追问

这道题我一开始求斜率，用代数解很烦。没解出来，如何能想到用如此巧妙的方法呢。经验原因？

追答

解几的试题大多是用定义,配合图形..本题特征:双曲线上的点与左焦点的连线,可以考虑连与右焦点的连线构成几何图形解题(三角形形).

Answer 2

解：过点P作PD∥OF，过点F作FD∥OP
则四边形DPOF为平行四边形，连接OD
故向量OD=向量OF+向量OP
又向量OE=(1/2)*(向量OF+向量OP)
∴ 向量OD=2向量OE
∴点E在OD上
∵OE⊥FP
∴平行四边形DPOF为菱形
设点P的坐标为(x，y)，双曲线的右焦点为F1
则x²+y²=c² (PO=OF=c)
F1(c，0)
FE=√(OF²-OE²)=(1/2)*√(4c²-a²)
∴FP²=4FE²=4c²-a²
∵FP²=(x+c)²+y²=x²+2xc+c²+y²=2xc+2c²
∴2xc+2c²=4c²-a²
∴x=c-a²/2c
∴F1P²=(x-c)²+y²
=x²-2xc+c²+y²
=2c²-2c*(c-a²/2c)=a²
∵FP-F1P=2a
即√(4c²-a²)-a=2a
∴4c²-a²=9a²
∴c/a=√10/2
∴双曲线的离心率为√10/2

Answer 3

结论： e=(√10)/2

向量OE=1/2（向量OF+向量OP），即E是FP的中点。
设右焦点为G
OE是三角形FGP的中位线 得|GP|=2|OE|=a |FP|=3a(定义)
三角形FGP为直角三角形。
得 a^2+(3a)^2=(2c)^2
所以 e=(√10)/2

希望对你有点帮助！