Question

已知函数f(x)=1/2 x^2-(a+1)x+alnx 【a属于R】 (1)若f(x)在(2,+正无穷)上单调递增，求a的取值范围

已知函数f(x)=1/2 x^2-(a+1)x+alnx 【a属于R】
(1)若f(x)在(2,+正无穷)上单调递增，求a的取值范围；（2）若f(x)在（0,e）内有极小值1/2，求a的值。

Answer 1

(1)f(x)=(1/2) x^2-(a+1)x+alnx,x>0,
f'(x)=x-(a+1)+a/x=[x^2-(a+1)x+a]/x=(x-1)(x-a)/x,
a=1时f'(x)>=0,f(x)是增函数，满足题设；
a<1时x>1,f'(x)>0,f(x)是增函数，满足题设；
a>1时1<x<a,f'(x)<0,f(x)是减函数，其他，f(x)是增函数，
由f(x)在(2,+∞)上递增得1<a<=2.
综上，a<=2,为所求.
(2)a<1时f(x)的极小值=f(1)=-a-1/2=1/2,a=-1;
e>a>1时f(x)的极小值=f(a)=(-1/2)a^2-a+alna=1/2,
a^2+(2-2lna)a+1=0,△/4=(1-lna)^2-1=lna(lna-2)<0,无实根。
综上，a=-1.