Question

求这个微分方程的通解

Answer 1

如图所示：

Answer 2

（3）解：∵齐次方程y"-2y'+5y=0的特征方程是r²-2r+5=0，特征根是r=1±2i（复数根）
∴此齐次方程的通解是y=(C1cos(2x)+C2sin(2x))e^x (C1,C2是积分常数)
于是，由常数变易法，设原方程的解为y=(C1(x)cos(2x)+C2(x)sin(2x))e^x (C1(x),C2(x)是关于x的函数)
代入原方程，化简得方程组(C1'(x)cos(2x)+C2'(x)sin(2x))e^x=0，(-2C1'(x)sin(2x)+2C2'(x)cos(2x))e^x=sin(2x)e^x
解此方程组，得C1'(x)=-sin²(2x)/2，C2'(x)=sin(2x)cos(2x)/2
==>C1(x)=sin(2x)cos(2x)/8-x/4+C1，C2(x)=C2+1/16-cos²(2x)/8 (C1,C2是积分常数)
==>y=(C1(x)cos(2x)+C2(x)sin(2x))e^x=(C1cos(2x)+C2sin(2x)-xcos(2x)/4+sin(2x)/16)e^x
故 经验证原方程的通解是y=(C1cos(2x)+C2sin(2x)-xcos(2x)/4+sin(2x)/16)e^x。

Answer 3