Question

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠60°）

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠60°），得到Rt△A′B′C，（1）如图，当9′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点9，过点 9作9q∥A′B′交CB′边于点q，连接Bq．①当0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；②当S△BDE=1 /3 S△ABC时，求AD的长．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°．（1分）
由旋转可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB
∴△B′BC为等边三角形．（2分）
∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）

 

 

 

（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．
∵DE∥A'B'，

∴CD:CA'=CE:CB'

由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．

∴CD:CA=CE:CB

∴CD:CE=CA:CB

∴△CAD∽△CBE；

∴BE:AD=BC:AC

∵∠A=30°

∴y/x=BC/AC=3分之 根号3

y=3分之 根号3x（0＜x＜2）

②当0°＜α＜90°时，点D在AB边上．
AD=x，BD=AB-AD=2-x，
∵DE∥A′B′，

∴CD:CA'=CE:CB'

由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．

∴CD:CA=CE:CB

∴CD:CE=CA:CB

∴△CAD∽△CBE，
∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，
∴∠DBE=90°．
此时，S=S△BDE=1/2BD×BE=1/2(2-X)×3分之根号3x=6分之 负的根号3x的平方+2倍的根号3x

当s=1/3S△ABC时，6分之 负的根号3x的平方+2倍的根号3x=根号3/6

整理，得x2-2x+1=0．
解得x1=x2=1，即AD=1．
当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图）．
仍设AD=x，则BD=x-2，∠DBE=90°，S=S△BDE=1/2BD×BE=1/2(2-X)×3分之根号3x=6分之 负的根号3x的平方+2倍的根号3x

当s=1/3S△ABC时，整理，得x2-2x-1=0．

6分之 负的根号3x的平方+2倍的根号3x=根号3/6

整理，得x2-2x-1=0．
解得AD=1+根号2

综上所述：AD=1或AD=1+根号2

 

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