Question

初中数学抛物线问题

抛物线y=ax^2+bx+c交x轴点A(3,0)、B(-1,0),交y轴于点C(0,-3),其顶点为D, 求（1）抛物线解析式
（2）EF均为X轴下方的点，且点E在抛物线上，若以点O、C、E、F为顶点的四边形是菱形，求EF的值。
（3）在抛物线上是否存在点P，使得三角形ACP与三角形ACD的面积相等？若存在请求出此点P的坐标？若不存在，请说明理由。
先谢谢老师，这个已经得出：（1）抛物线解析式=x^2-2x-3，D点的坐标为（1，-4）；

Answer 1

分析：这是一个好题，是2011年的一个预测题。主要考查了菱形的性质，线段长度的计算，方程组的解法，二次函数的知识，一次函数图像的平移。是综合性难题。

 

解：（1）二次函数的知识

代入三点得y=x^2-2x-3

 

（2）EF均为X轴下方的点，OC=3，

OC是菱形的边时，EF=OC=3，

 

 

OC是对角线时，EF//X轴

E,F的纵坐标为－3/2

 

x^2-2x-3=－3/2

X1=(2-√10)/2       X2=(2+√10)/2

当E点在第三象限的抛物线上时，EF=|(2-√10)/2| *2=   √10-2

 

当E点在第四象限的抛物线上时，EF=(2+√10)/2 *2=   √10+2

 

 

 所以EF=3, √10-2 ,  √10+2

 

 

 

（3）直线AC的解析式求得为y=x-3，

DP1方程：y=x-5，          (1)

                 y=x^2-2x-3     (2)

X1=1,X2=2

Y1=-4,Y2=-3

P1=(2,-3)

P2P3方程：y=x-1，          (1)

                   y=x^2-2x-3     (2)

X1=(3+ √17)/2 ,   X2=(3- √17)/2

Y1=(1+ √17)/2,    Y2=(1- √17)/2,

 

P2=(     (3+ √17)/2,(1+ √17)/2    ) , P3=(     (3- √17)/2,(1- √17)/2    )

 

 

所以P1=(2,-3) ， P2=(     (3+ √17)/2,(1+ √17)/2    ) , P3=(     (3- √17)/2,(1- √17)/2    )

追问

先谢谢老师这么详细解答，辛苦了，再问一句：可不可以E点与A点重合，也就是OCE(A)F是正方形，这也符合条件“点E在抛物线上，若以点O、C、E、F为顶点的四边形是菱形....”

追答

（2）EF均为X轴下方的点
不能在X轴上的

Answer 2

（1）把点A(3,0)、B(-1,0),C(0,-3),代入y=ax^2+bx+c，解得a=1，b=-2，c=-3，所以抛物线解析式为y=x^2-2x-3，D点的坐标为（1，-4）；
（2）EF均为X轴下方的点，OC=3，当E点在第三象限的抛物线上时，OC是对角线，所以E的纵坐标是-3/2，求得E的横坐标是1-√10/2，所以EF=√10-2；当E点在第四象限的抛物线上时，EC是对角线，所以EF=3；
（3）直线AC的解析式求得为y=x-3，点D到直线AC的距离=√2，设P的坐标为（x，y），则有x-y-3=2，联立抛物线解析式y=x^2-2x-3，解得x=2，y=-3（x=1，y=-4是D 点的坐标），所以点P的坐标为（2，-3）。