Question

计算一题二重积分(被积函数带绝对值)

∫∫|xy|dxdy,D为由圆x^2+y^2=a^2所围成的区域.

Answer 1

D为由圆x^2+y^2=a^2所围成的区域，即x^2+y^2<=a^2
x=r*cosθ,y=r*sinθ
r的范围为[0,a],θ的范围为[0,2*pi]
这时有：dxdy=rdrdθ，所以
∫∫|xy|dxdy
=∫∫|r*cosθ*r*sinθ|rdrdθ
=∫∫[|sin2θ|/2]*r^3drdθ
=∫r^3dr∫[|sin2θ|/2]dθ
=1/4*[∫r^3dr∫|sin2θ|d2θ]
=1/4*[∫r^3dr∫|sin2θ|d2θ]
(积分范围不好打)
接下来就是确定|sin2θ|的符号了，把它分成四个部分分别积分，[0,pi/2]和[pi,3*pi/2]
|sin2θ|=sin2θ，，[pi/2，pi]和[3*pi/2,2*pi]，|sin2θ|=-sin2θ
剩下的就是计算了。
分多少个区间，是根据|sin2θ|的取值正负情况和定义域来确定的，因为带有绝对值的函数不好积分，所以我们必须去掉绝对值，取绝对值又要考虑它的正负，看|sin2θ|，定义域是[0,2*pi]
我们必须把它在[0,2*pi]
上的正负情况都考虑到，因为他是个典型的sin函数，所以要分成那几个区间了……
如果还有不懂的，在告诉我吧。
这个没有公式！看具体情况。
好，我先讨论下|sinθ|，假设θ的范围为[0,2*pi],那么根据sin函数性质，在[0,pi]上，|sinθ|就等于sinθ（因为此时sinθ大于0），在[pi，2*pi]上，|sinθ|就等于-sinθ。|sinθ|的积分求不出来，但是sinθ和-sinθ的积分好求啊。
对于直角坐标化成极坐标：
x=r*cosθ,y=r*sinθ
r的范围[0,a]和θ的范围为[0,2*pi]这是固定的，就相当于定义域一样，你必须把[0,2*pi]范围中|sin2θ|的正负情况讨论完，结合sin函数的性质，所以这题注定要分4个部分积分。