Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任何x，y都有f（x+y）=f(x)f(y)，且当x＞0时，f(x)＞1，证明f(x)在R上递增

Answer 1

f(0)＝f(0)×f(0)，所以f(0)＝0或1。若f(0)＝0，则f(x)＝f(0)×f(x)＝0，与x＞0时，f(x)＞1矛盾。所以f(0)＝1
f(0)＝f(x)f(-x)＝1，所以x＜0时，0＜f(x)＜1
对任意的实数x,y，设x＞y，则f(x)－f(y)＝f(y)f(x-y)－f(y)＝f(y)[f(x-y)－1]
f(x-y)－1＞0，f(y)＞0，所以f(x)－f(y)＞0
所以，f(x)在R上递增

Answer 2

f(x)=f(x)*f(0)
且当x＞0时，f(x)＞1，所以f(0)=1
f(0)=f(-x)f(x)因为f(0)=1所以f(-x)与f(x)为互为倒数，是同号的
f(X+K)=f(X)f(K)K大于0
所以f(k)＞1
所以f(X+K）>f(x)
x+k>x
所以函数在定义域上地主递增！

Answer 3

证明：当x=y=0时，f(0)=f(0)*f(0)
则f(0)[f(0)-1]=0
f(0)=0或f(0)=1
由增函数的定义，对任意的x>0,由于f(x)>1,f(x)-f(0)=f(x)-0>0,或者f(x)-f(0)=f(x)-1>0，所以f(x）是增函数