Question

设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f(x)+f(y)，f（1/3）=1 当x>0时f（x）＜0

设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f(x)+f(y)，f（1/3）=1 当x>0时f（x）＜0
（1）求f（0）的值
（2）判断函数单调性
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2 求x的取值范围
判断函数奇偶性

Answer 1

(1)
f(2/3)=2;
f(1/3)=f[2/3+(-1/3)]即2+f(-1/3)=1;
f(-1/3)=-1;
f(0)=f[1/3+(-1/3]=0;
(2)
f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
令x1>x2
f(x1)-f(x2)=f（x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
所以 单调递减
（3）
f(2)=6
原式=2f(x)+f(2)<2
f(x)<-2
又f(-2/3)=-2
根据单调性得，x>-2/3

Answer 2

（1）令X=0，则F（0+Y)=F(0)+f（Y），即F（0）=0