Question

在用格林公式算曲线积分时什么时候可以直接得0？ 还有，是否所有的对坐标的曲线积分都可以用格林公式做？

像（2）题就直接得0了，(3) (4) 没有直接得0.
为什么（2）不像（3）（4）这样做，或者（3）（4）不像(2)这样？

Answer 1

当曲线L围成的区域为闭区域时，就可以运用格林公式。
格林公式的值不一定是零，但是当∂P/∂y = ∂Q/∂x时，曲线积分的结果与路径无关
那么二重积分的值就是零。
其实三题都是用格林公式，二重积分值都是零。
只是第(2)题的曲线本身能围成闭区域，而第(3)(4)题需要添加直线才能围成闭区域。

第(2)题的曲线是星形线，是个合区域，所以可直接用格林公式。
∮L Pdx + Qdy = ± ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0

第(3)题只是一个弧线，不能围成合区域，所以要使用格林公式
要添加线段y = 0和x = π/2，所以这三条曲线使区域闭合
并且取正向(逆时针)时，格林公式取 + 号，负向(顺时针)时，格林公式取 - 号
然后用格林公式的二重积分结果减掉该两条直线的曲线积分，就得原式的结果。
曲线L：x = (π/2)y²，(x，y)：(0，0) → (π/2，1)，顺时针
添加L1：y = 0，dy = 0，x：π/2 → 0，顺时针
添加L2：x = π/2，dx = 0，y：1 → 0，顺时针
∮(L+L1+L2) Pdx + Qdy = - ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0
∫L1 Pdx + Qdy = ∫(π/2，0) 0 dx = 0
∫L2 Pdx + Qdy = ∫(1→0) [ 1 - 2y + 3(π/2)²y² ] dy = - π²/4
既然三个线段围成闭区域，它们的积分也同样道理：
L+L1+L2 = 闭曲线(L+L1+L2)
∫L + ∫L1 + ∫L2 = ∮(L+L1+L2)
∫L = ∮(L+L1+L2) - ∫L1 - ∫L2
即∫L Pdx + Qdy = 0 - 0 - (- π²/4) = π²/4

第(4)题跟第(3)题同样原理，1/4个圆弧不足以围成闭区域，于是添加线段y = 0和x = 1
那么就可以应用格林公式了。
曲线L：y = √(2x - x²)，(x，y)：(0，0) → (1，1)，顺时针
直线L1：y = 0，dy = 0，x：1 → 0，顺时针
直线L2：x = 1，dx = 0，y：1 → 0，顺时针
∮(L+L1+L2) Pdx + Qdy = - ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0
∫L1 Pdx + Qdy = ∫(1→0) x² dx = - 1/3
∫L2 Pdx + Qdy = ∫(1→0) - (1 + sin²y) dy = 3/2 - (1/4)sin(2)
∫L + ∫L1 + ∫L2 = ∮(L+L1+L2)
∫L = 0 - (- 1/3) - [3/2 - (1/4)sin(2)] = - 7/6 + (1/4)sin(2)

我这个方法跟你书上那个的道理是一样的。
∫L(顺时针) + ∫L1(顺时针) + ∫L2(顺时针) = - ∮(L+L1+L2)(顺时针) = 0
∫L(顺时针) = 0 - ∫L1(顺时针) - ∫L2(顺时针)
∫L(顺时针) = ∫L1(逆时针) + ∫L2(逆时针)

通常都选择用直线跟L绕成闭区域，因为直线的导数能简单求出，容易简化。
另外，若被积函数上有奇点，就得绕开奇点部分，挖一个足够小的圆形或椭圆形，然后用格林公式减掉该部分的积分。