Question

一道数学题，求大神解决！

现有棱长为a的正方体，用一个面去截这个正方体，求截面面积S的最大值。
要有计算过程和详细证明，谢~~~（直接写得数的和证明错误的不给采纳）
我猜出了答案 是√2a^2吗？不知道对不对也不会证明。。。。。。跪求强人解答！~~~
ToT

这个截面在正方体上的投影形状也不一定.这个截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形。
√2a^2的情况应该是按对角线截出的矩形吧，边长分别为a和√2a。此时截面在底面的投影为a^2，与底面夹角为45°。

我们来设想一个截面为正六边形的情况。设正方体为ABCD-A1B1C1D1，分别取A1D1、C1D1、AA1、AB、BC、CC1的中点M、N、P、Q、R、S，连接MNPQRS，则六边形MNPQRS为正六边形，在底面的投影S0为3/4，夹角为θ=arccos（√3/3）。事实上，它在任何一个面的投影均为3/4，且平面MNPQRS与正方体每个面的夹角均为arccos（√3/3）。此时S0<a^2，而θ>45°（即cosθ<√2/2），截面面积S=S0/cosθ，面积大小与√2a^2无法直接比较。经过计算，此时的截面面积为3√3a^2/4，确实小于√2a^2。
其实，S0<a^2，而θ>45°（即cosθ<√2/2）的情况有无数种，但是无数种情况不能一一列举吧，何况这只是最特殊的一种……怎么证明？？？求解啊…………
请勿怀有蹭分心理，给出实际证明并能使我看懂者才会采纳！

这也算老问题了，纠结了一年也没人能做出来。。。惭愧啊。。。

Answer 1

截面也就四种，你可以把每种截面分成几个三角形来计算，哪用那么苦逼去算什么夹角，这是按照你的思路来想的方法- -自己试试吧。
下面是我的想法，这个是个正方体，那么，截面最小的面应该就是正方体的一个面，最大的面呢？这个面一定过正方体的中心，它是个长方体，那么它的宽确定了，是正方体的棱，我们要讨论的是它的长，假设长与最小截面夹角为A,长应该是b=a/cosA，而b的长度范围是a到2√2a吧？这样不就算出它是长方形的时候的最大面积了。然后你自己再算算其他形状的

追问

其实，截面最小没有，趋近于0啊，你截正方体的一个角，再让边长无限趋近于0不就行了.。。。不过五边形的面，怎么算。。。这个肯定不会出现正五边形了

追答

这是四边形的情况截一个角的时候是三角形吧？不过你无论怎么算，它的极限就是那个最大的长方形了

追问

额。。。这和我猜的一样，5、6边的情况，怎么算

追答

五边形不是固定一个点么...那就截成三角形试试，六边形的话....你也试试用三角形吧，不过解题方法的话- -你最好还是去问问高中老师，我这么算只能在你很有耐心的时候算出来

追问

嗯，我自己再弄弄。。。

Answer 2

70分不好拿啊，这题目从哪里来的？能不能把题目完成的发出来？
不过这数学放下十来年了，只记得大概
问题有两个，一个证明那个截面最大，二是求这个截面的面积。第一个问题最难
下面谈一谈思路
1、一个面与另一个面相交得到一条线，立方体有6个面，最小的截面是与三个面相交，形成三角形，以此类推，四边形，五边形，最对六边形，至于哪个界面最大。
Smax三角形=
Smax四边形=
Smax五边形=
Smax六边形=

虽然有人说六边形最大，我也这么认为，但过程呢？所以上面的步骤必不可少
三角形可以根据边长计算公示，这公示我忘了，一个边长在一个面上，最长的那根线是四边形的对角线，所以最大的三角形就是三个对角线那个，面积好算。

四边形有两种情况，梯形和平行四边行，这个比较麻烦。

Answer 3

2012-05-17 22:16 提问者悬赏：50分 | Spy丶巅峰灬战 | 分类：数学 | 浏览133次
天，你一直纠结了一年多？？？？

追问

木有办法啊。。。没人回答这个问题我自己又做不出来，这个题也算是超范围了，去年高考，今年大一了没事拿出来看看有没有人能回答啊。。。话说，你会么。。。求解答啊

追答

我看到一份，不是有人给你传资料了么。。。
学长，，抱歉啦，还没看懂题
我高二，不过，我试着看看

追问

谢谢啊~
不过不要叫我学长。。。我还没成年呢，搞得我很成熟的样子。。。大家其实都差不多，我只是对某方面感兴趣而已，一直做不出来心里郁闷啊

追答

我感觉截面的边越少面积就越大。。。。

追问

同感，不过三角形肯定不行啊。。。所以我猜的矩形

Answer 4

学了高数了么，感觉可以用积分跟你说，其他不好说

追问

学了，本人现在大一，说吧。。。。

追答

让我想想啊，我也是大一的，基础不是很好

追问

额。。。咱俩差不多吧。。。我高数说实话学的也不怎么样，积分我也想过，不知如何下手啊。。。说实话这题从高三就纠结我了，当时没学高数，现在学了也不会用。。。加个好友吧

追答

你加我吧739319867扣扣