Question

设等比数列{an}的公比为q,其前n项的积为Tn,首项a1＞1，a2014a2015-1＞0，

设等比数列{an}的公比为q,其前n项的积为Tn,首项a1＞1，a2014a2015-1＞0，a2014-1/a2015-1＜0，则使Tn＞1成立的最大自然数n=答案4028

Answer 1

根据a[2014]a[2015]-1>0可知，a[2014] a[2015]同号，因此q一定大于0
根据a[2014]-1 / a[2015]-1 <0， 且a1>1判断，如果q≥1，那么a[2015]≥a[2014]≥a[1]>1
a[2015]-1≥a[2014]-1>0 ， 那么a[2014]-1 / a[2015]-1不可能小于0
因此可知，0<q<1
a[2014]a[2015]-1
=a1² * q^(2013+2014) -1 >0
∴ a1² * q^4027 >1①
根据a[2014]-1 / a[2015]-1 <0， 0<q<1知 0<a1* q^2014<1 ∴ (a1* q^2014)²=a1² * q^4028 <1②

Tn = a1 * a2 *..*an= a1*a1q*...*a1q^(n-1) = a1^n * q^(1+2+...+n-1)
=a1^n * q^(n(n-1)/2) = [a1² * q^(n-1)]^(n/2)
若Tn>1,那么必有a1² * q^(n-1)>1
由①②可知，n-1的最大值为4027
所以n的最大值为4028