Question

求微分方程xy'-y=y^2满足初始条件y(1)=1的解

Answer 1

求微分方程y'=1/2+2y/x
满足初始条件y(1)=1的特解
解：y'-(2y/x)=1/2；先求y'-2y/x=0的通解：
分离变量得dy/y=(2/x)dx；积分之得lny=2lnx+lnc₁=ln(c₁x²)
故得y=c₁x²；将c₁换成x的函数u，得y=ux²...........①
对①取导数得：y'=u'x²+2ux.........②
将①②代入原式得：u'x²=1/2；分离变量得du=(1/2x²)dx；
积分之得u=∫(1/2x²)dx=(1/2)∫(1/x²)dx=-(1/2)(1/x)+c=-1/(2x)+c...........③
将③代入①式即得原方程的通解为：y=[-1/(2x)+c]x²=cx²-(1/2)x
代入初始条件y(1)=1,得c=3/2；故特解为：y=(1/2)(3x²-x)

Answer 2

解：∵xy'-y=y^2
==>(xy'-y)/y^2=1
==>1+(y-xy')/y^2=0
==>1+d(x/y)/dx=0
==>dx+d(x/y)=0
==>∫dx+∫d(x/y)=0
==>x+x/y=C
(C是积分常数)
==>x(y+1)=Cy
∴此方程的通解是x(y+1)=Cy
∵y(1)=1
∴代入通解，得C=2
故所求特解是x(y+1)=2y。