Question

极坐标法的几何意义

Answer 1

用极坐标解决几何问题的方法。在直角坐标系中（x,y），x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替，ρ=(x^2+y^2)^0.5,从而得到新的方程。这样的方程常常用来解决曲线问题，如椭圆曲线、纽线、螺线等等，可以使解题更加清晰简便。
设曲线C的极坐标方程为r=r（θ）。
则C的参数方程为{
x=r（θ）cosθ
y=r（θ）sinθ
其中θ为极角。
由参数方程求导法，得曲线C的切线对x轴的斜率为
yˊ=rˊ(θ)sinθ+r(θ)cosθ∕rˊ(θ)cosθ-r(θ)sinθ=rˊtanθ+r∕rˊ-rtanθ
设曲线C在点M（r，θ）处的极半径OM与切线MT间的夹角为Ψ，则Ψ=α-θ（如图）
故有tanΨ=tan（α-θ）=yˊ-tanθ∕1+yˊtanθ
将yˊ代入，化简得tanΨ=r（θ）∕rˊ（θ）
这一重要公式表明：在极坐标系下，曲线的极半径r（θ）与其导数rˊ（θ）之比等于极半径与曲线切线之夹角的正切。