Question

下面四个命题：①已知函数f（x）=sin x，在区间[0，π]上任取一点x0，则...

下面四个命题： ①已知函数f（x）=sin x，在区间[0，π]上任取一点x0，则使得f（x0）＞12的概率为23； ②函数y=sin 2x的图象向左平移π3个单位得到函数y=sin（2x+π3）的图象； ③命题“∀x∈R，x2-x+1≥34”的否定是“∃x0∈R，x02-x0+1＜34”； ④若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=f（x），则f（2 012）=0． 向量a=（-1，1）在向量b=（3，4）方向上的投影为15． 其中所有正确命题的序号是_____．

Answer 1

解：对于①x∈[0，π]时，由f（x）≥12，即sinx≥12，解得π6≤x≤5π6，则在区间[0，π]上任取一点x0，则f（x0）≥12的概率P=5π6-π6π-0=23，故结论正确．
对于②函数y=sin 2x的图象向左平移π3个单位得到函数y=sin[2（x+π3）]=sin（2x+2π3），故结论不正确．
对于③命题“∀x∈R，x2-x+1≥34”的否定是“∃x0∈R，x20-x0+1＜34”符合非命题的形式，故是正确的．
对于④若函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．
又f（x+4）=f（x），∴T=4，∴f（2 012）=f（503×4+0）=f（0）=0，故结论正确．
向量a=（-1，1）在向量b=（3，4）方向上的投影为：|a|•a•b|a||b|=a•b|b|=-1×3+1×45=15，故结论正确．
故答案为：①③④