Question

老师说初等矩阵的逆还是其本身。但是如果把某行加到另一行也还是初等矩阵，但是它的逆就不是它本身了？

Answer 1

不一定

初等矩阵有3种, 对应的初等变换为
交换两行(列)
某行乘非零常数k
某行的k倍加到另一行

其实它们的逆矩阵很好记, 就是把变换逆一下对应的矩阵
对应:
交换两行 (这个逆矩阵才是其本身)
某行乘非零常数 1/k
某行的 -k 倍加到另一行

比如
1 0
0 2 (第2行乘2来的)
的逆矩阵为
1 0
0 1/2 (第2行乘1/2来的)

1 -2
0 1 (第2行的-2倍加到第1行来的)
的逆矩阵为
1 2
0 1 (第2行的2倍加到第1行来的)