Question

，已知定义域为(0,+∞）上的单调递增函数f(x),任意x〉0,有f(f(x)-lnx)=1,则

程f(x)=-x²+4x-2解的个数为?

Answer 1

解由f(f(x)-lnx)=1..............①
令t=f(x)-lnx
则f(x)=lnx+t.......................②
即①式变为
f(t)=1，
又由②得
f(t)=lnt+t=1...............③
解③得t=1
故f（x）=lnx+1
故方程f(x)=-x²+4x-2
变为lnx+1=-x^2+4x-2
即lnx=-x^2+4x-3（x＞0）
在同一坐标系下做出y=lnx与y=-x^2+4x-3的图像
知两函数在（0，正无穷大）有3个不同的交点
故方程f(x)=-x²+4x-2解的个数为为3.

Answer 2

答：
定义在x>0的单调递增函数f(x)，对任意x>0有：
f [f(x)-lnx ]=1
显然，k=f(x)-lnx>0为常数
所以：f(k)=1
所以：
f(x)=k+lnx是单调递增函数
因为：
f(k)=k+lnk=1
经观察，k=1符合题意，也是唯一的解
所以：f(x)=1+lnx
方程f(x)=-x^2+4x-2即为：
1+lnx=-x^2+4x-2
所以：lnx=-x^2+4x-3
前者y=lnx是对数函数，x>0时单调递增
后者y=-x^2+4x-3是开口向下的抛物线，对称轴x=2，最大值为1
x=2时，y=lnx=ln2<1
x=1时，y=-x^2+4x-3=0
绘制简图知道，两条曲线在x>0时存在3个不同的交点，另外一个在区间（0,1）

所以：方程f(x)=-x^2+4x-2有3个不同的实数解