Question

求下列可分离变量微分方程满足所给初始条件的特解：y´sinx=yIny,y|(x=π/2)=e

Answer 1

dy/dx*sinx=ylny
dy/(ylny)=dx/sinx
两边积分：ln|lny|=∫sinxdx/(1-cos^2(x))=-1/2∫(1/(1-cosx)+1/(1+cosx))d(cosx)=...=ln|cscx-cotx|+C
所以lny=C(cscx-cotx)
令x=π/2：1=C
所以lny=cscx-cotx
y=e^(cscx-cotx)

追问

-1/2∫(1/(1-cosx)+1/(1+cosx))d(cosx)=...=ln|cscx-cotx|+C(把这里省略号的内容也写出来呀！一下子跳过去了，看不明白呀!省略号的过程也写出来！)

追答

好吧，我想的是csc的积分是有公式的（虽然我刚才是在网上查的。。。囧）
∫sinxdx/(1-cos^2(x))
=-1/2∫(1/(1-cosx)+1/(1+cosx))d(cosx)
=-1/2[-∫d(1-cosx)/(1-cosx)+∫d(1+cosx)/(1+cosx)]
=1/2[∫d(1-cosx)/(1-cosx)-∫d(1+cosx)/(1+cosx)]
=1/2(ln|1-cosx|-ln|1+cosx|)+C
=1/2ln((1-cosx)/(1+cosx))+C
=ln|(1-cosx)/sinx|+C （把1/2拿到ln里面变成根号，根号里面上下同时乘1-cosx）
=ln|cscx-cotx|+C