Question

线性代数求大神：设A，B，A＋B，均为n阶可逆矩阵，证明A^-1+B^-1为可逆矩阵，并求A^-1+B^-1的逆阵

我能看懂以下答案，但是我不懂——它第一步咋得出来的？咋就能“首先注意到”，我就没注意到这样乘啊，求大神指示第一步咋想的T.T

首先注意到
A(A^{-1}+B^{-1})B=B+A，
于是
A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}，
从而有
(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=B(A+B)^{-1}A。

Answer 1

其实这已经很显然了, 如果你实在想不出来按下面的方法试试

先考虑A,B都是数的情况, 这时候比矩阵还多一个乘法交换律可用
通分可得1/A+1/B=(A+B)/(AB)
(这步做一下不亏的, 至少来说这是1阶矩阵的结果, 你最后做完的结果必须与此相容)

但是这里没有乘法交换律, 那么做通分的时候不能像普通的数那样自由

我们仍然采用通分的思路, 一步一步来
A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(I+AB^{-1})
接下来B^{-1}应该从右侧提取出来, 得到
A^{-1}(I+AB^{-1})=A^{-1}(B+A)B^{-1}
这样做就行了