Question

急急急 圆锥曲线--双曲线和椭圆的题

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F2,且F1F2的绝对值=2倍根号下13，椭圆的半长轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3:7. (1).求这两条双曲线的方程; (2).若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值。 要详细过程~

Answer 1

解:(1)设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,双曲线方程为x^2/m^2-y^2/n^2=1
由题意得
a-m=4,
(c/a)/(c/m)=3/7
即m/a=3/7
联立可解得:a=7,m=3
由椭圆及双曲线性质可得a^2=b^2+c^2
c^2=m^2+n^2
即
49=b^2+13，13=9+n^2
解得b=6,n=2
∴椭圆方程为x^2/49+y^2/36=1
双曲线方程为
x^2/9-y^2/4=1
(2)设P为椭圆与双曲线在第二象限的交点。
联立方程x^2/49+y^2/36=1
x^2/9-y^2/4=1
解得P(-21根号十三/13,12根号十三/13)
过P点作x轴的垂线，垂足为M.则F1M=8根号十三/13
由此可得PF1=4。
∵PF1+PF2=2a=14
∴PF2=10
在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2=(16+100-52)/(2*4*10)=4/5
即cos∠F1PF2=4/5.