Question

数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1/2,Sn=n^2-n(n-1)(n=1,2,3......)写出Sn与Sn+1的递推关系式（n大于等于2

并求Sn关于n的表达式
设fn=(Sn/n)X^n+1,bn=f'n(p)(p属于R），求数列{bn}的前n项和Tn

Answer 1

1.Sn=n*an-n(n-1)
Sn-1=(n-1)an-1-(n-2)(n-1) n>1
前式减后式
an=n*an-(n-1)an-1-2(n-1)
(n-1)*an-(n-1)an-1-2(n-1)=0
(n-1)(an-an-1-2)=0 n>1
an-an-1=2 n>1
数列(an)是公差为2的等差数列
an=1/2+2(n-1)=2n-3/2
S1=a1=1/2
S2=1/2+1/2+2=3
S3=1/2+1/2+2+1/2+4=15/2
Sn=(1/2+2n-3/2)n/2
=(2n-1)n/2

2.Fn(x)=(Sn/n)x^(n+1)=nx^(n+1)/(n+1)
F'n(p)=n(n+1)p^n/(n+1)=np^n=Bn
若p=1，则Bn=n，则Tn=n(n+1)/2；
若p≠1，这是个很熟悉的关系式，利用错位相减：
Tn=p+2p²+……+np^n
pTn=p²+2p^3+……+np^(n+1)
两式相减=(p-1)Tn=np^(n+1)-(p+p²+……+p^n)=np^(n+1)-p(1-p^n)/(1-p)
Tn=[np^(n+1)-p(1-p^n)/(1-p)]/(p-1)

望采纳 谢谢