Question

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数，若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数，若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围．

Answer 1

令f′(x)＝

1

x

?a＝

1?ax

x

＜0，
考虑到f（x）的定义域为（0，+∞），
故a＞0，进而解得x＞a^-1，
即f（x）在（a^-1，+∞）上是单调减函数．
同理，f（x）在（0，a^-1）上是单调增函数．
由于f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，
故（1，+∞）?（a^-1，+∞），从而a^-1≤1，即a≥1．
令g'（x）=e^x-a=0，得x=lna．
当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0．
又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，
即a＞e．综上，有a∈（e，+∞）．