Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-x（a≠0）．（1）设F（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上单调递减，求a的

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-x（a≠0）．（1）设F（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M、N，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与f（x）的图象和g（x）的图象交S、T点，以S为切点作f（x）的切线l1，以T为切点作g（x）的切线l2．是否存在实数a使得l1∥l2，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵F（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴F′（x）=

1

x

-2ax+1≤0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

2

(

1

x

+

1

x2

)在[1，+∞）上恒成立．
令φ（x）=

1

2

(

1

x

+

1

x2

)，则φ（x）_max=φ（1）=1．
∴a的取值范围是a≥1．
（2）由f（x）=g（x）可得lnx=ax²-x，化为a＝

lnx+x

x2

（x＞0）．
令h（x）=

lnx+x

x2

，则h′（x）=

1?x?2lnx

x3

，
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，则h（x）单调递增
当x＞1时，h′（x）＜0，则h（x）单调递减，且

lnx+x

x2

＞0．
∴h（x）在x=1处取到最大值h（1）=1，
∴要使y＝

lnx+x

x2

与y=a有两个不同的交点，则有0＜a＜1．
（3）不妨设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，则MN中点的坐标为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
以S、T为切点的切线l₁，l₂的斜率分别为k_S=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

，k_T=g′(

x1+x2

2

)=a（x₁+x₂）-1，
假设k_S=k_T，则a（x₁+x₂）-1=

2

x1+x2

，
∴a(

x

2 1

?

x

2 2

)-（x₁-x₂）=