Question

已知圆C的方程为：x2+y2=4（1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方...

已知圆C的方程为：x2+y2=4 （1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程； （2）直线l过点D（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=23，求直线l的方程； （3）圆C上有一动点M（x0，y0），ON=（0，y0），若向量OQ=OM+ON，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）当k不存在时，x=2满足题意；
当k存在时，设切线方程为y-1=k（x-2），
由|1-2k|k2+1=2得，k=-34，
则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0；
（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，-3），这两点的距离为23，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
设圆心到此直线的距离为d，
∴d=22-(232)2=1，即|2-k|k2+1=1，
解得：k=34，
此时直线方程为3x-4y+5=0，
综上所述，所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1；
（3）设Q点的坐标为（x，y），
∵M（x0，y0），ON=（0，y0），OQ=OM+ON，
∴（x，y）=（x0，2y0），
∴x=x0，y=2y0，
∵x02+y02=4，
∴x2+（y2）2=4，即x24+y216=1．