Question

已知函数f(x)＝2x?12x+1，（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）求证：方程f（x）-lnx=0至少有

已知函数f(x)＝2x?12x+1，（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）．

Answer 1

证明：（1）函数f（x）的定义域为R，且f(x)＝

2x?1

2x+1

，则f(?x)＝

2?x?1

2?x+1

＝

1?2x

2x+1

所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．（6分）
（2）令g(x)＝f(x)?lnx＝

2x?1

2x+1

?lnx，则函数y=g（x）在（1，3）连续．
因为g(1)＝

21?1

21+1

?ln1＝

1

3

＞0，g(3)＝

23?1

23+1

?ln3＝

7

9

?ln3＜0，
所以，方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．（12分）