Question

如图1，二次函数y=ax2-2ax-3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C

如图1，二次函数y=ax2-2ax-3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF=1：2，求点M、N的坐标；③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴D（1，-4a）．

（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；
由y=ax²-2ax-3a=a（x-3）（x+1）知，A（3，0）、B（-1，0）、C（0，-3a），则：
AC²=（0-3）²+（-3a-0）²=9a²+9、CD²=（0-1）²+（-3a+4a）²=a²+1、AD²=（3-1）²+（0+4a）²=16a²+4
由勾股定理得：AC²+CD²=AD²，即：9a²+9+a²+1=16a²+4，
化简，得：a²=1，由a＜0，得：a=-1
即，抛物线的解析式：y=-x²+2x+3．
②∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，
∴PM∥x轴，且PM=OB=1；
设M（x，-x²+2x+3），则OF=x，MF=-x²+2x+3，BF=OF+OB=x+1；
∵MF：BF=1：2，即BF=2MF，
∴2（-x²+2x+3）=x+1，化简，得：2x²-3x-5=0
解得：x₁=-1、x₂=

5

2

∴M（

5

2

，

7

4

）、N（

3

2

，

15

4

）．
③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如右图；
设Q（1，b），则QD=4-b，QB²=QG²=（1+1）²+（b-0）²=b²+4；
∵C（0，3）、D（1，4），
∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，
∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD²=2QG²；
代入数据，得：
（4-b）²=2（b²+4），化简，得：b²+8b-8=0，
解得：b=-4±2

6

；
即点Q的坐标为（1，-4+2

6

）或（1，-4-2

6

）．