Question

如图，已知：二次函数y=ax2-2ax-3的图像与x轴交于点A、B(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D

tan∠OBC=3.
如图，已知：二次函数y=ax2-2ax-3的图像与x轴交于点A、B(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，tan∠OBC=3.(1)求二次函数的解析式；
(2)求△ACD的面积；(3)在抛物线的对称轴上有一点P，若s三角形pcd=s三角形ocd ，求点P的坐标.

Answer 1

(1)由图知，|OC|=3, 又因为tan∠OBC=3，所以|OB|=1，所以B点横坐标为-1，即y(-1)=0，带入知a=1，即y=x^2-2x-3,
(2)根据函数解析式，知D点坐标为（1，-2）C点为（0，-3），A点为（3,0），知直线AC斜率k1=1，直线CD斜率k2=-1，因为k1k2=-1，所以AC垂直于CD，所以△ACD的面积为1/2*|AC|*|CD|=3/2根号3
(3)若s三角形pcd=s三角形ocd，即O到直线CD的距离=P到直线CD的距离，问题转化为过O点的垂直于AC的线与抛物线的交点。易知该线解析式为y=-x，与解析式联立，得x=1/2(1+/-根号13)，对应的点坐标为（1/2(1+根号13)，-1/2(1+根号13)）或者(1/2(1-根号13),-1/2(1-根号13))