Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是棱AB，BC上的点，且AE=BF，若A1E与C1F所成的角最小，则有

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是棱AB，BC上的点，且AE=BF，若A1E与C1F所成的角最小，则有（　　）A．AE=BF=14aB．AE=BF=13aC．AE=BF=25aD．AE=BF=12a

Answer 1

如图示：
，
设|AE|=|BF|=x，x∈（0，a），∴

A1E

=（0，x-a），

C1F

=（a-x，-a），
∴cos＜

A1E

，

C1F

＞=

A1E ? C1F

| A1E |?| C1F |

=

a2

(x2+a2)[a2+(a-x)2]

，
另设分母中；f（x）=（x²+a²）[a²+（a-x）²]，
∴f′（x）=2[（2x³-ax²）-a（2x²-3ax+a²）]
=2（2x-a）（x²-ax+a），
又∵f″（x）=6（2x²-2ax+a²）＞0，
∴f′（x）是增函数，
∴只能有1个零点x=

1

2

a，
∴f（x）在x=

1

2

a时，取到最小值，
∴AE=BF=

1

2

a，
故选：D．