Question

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（I）求函数f（x）的解析

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若经过点M（2，m）可以作出曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）f'（x）=3ax²+2bx-3．（2分）
根据题意，得

f(1)＝?2 f′(1)＝0

即

a+b?3＝?2 3a+2b?3＝0

解得

a＝1 b＝0

所以f（x）=x³-3x．（4分）
（II）设切点为（x₀，y₀），则y₀=x₀³-3x₀，f'（x₀）=3x₀²-3，切线的斜率为3x₀²-3
则3x₀²-3=

x 3 0 ?3x0?m

x0?2

，即2x₀³-6x₀²+6+m=0．（6分）
∵过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三个不同的实数解，（8分）
∴函数g（x）=2x³-6x²+6+m有三个不同的零点，
∴g（x）的极大值为正、极小值为负（10分）
则g'（x）=6x²-12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2，列表：

由

6+m＞0 ?2+m＜0

，解得实数m的取值范围是-6＜m＜2．（12分）